Was haben Rentner, Fussballspieler und Informatiker gemeinsam?

Auch heute beschäftige ich mich gerne mit Mathematik, insbesondere mit der mathematischen Disziplin Kategorientheorie, die anfangs der 1940er Jahre zuerst als Werkzeug der algebraischen Topologie entwickelt wurde. 

Die Wissenschaft von Verformungen

Die algebraischen Topologie ist die Wissenschaft der Deformationen. Z.B. wird studiert, wie eine Tasse (mit Henkel) in einen Donought oder Schwimmring verformt werden kann. Anne Kahnt hat auf ihrer Website vismath – Mathematik neu erleben eine schöne Animation dieser Verformung gemacht.

So ein Schwimmring nennt man gescheit auch Torus.

Um die Aequivalenz einer Tasse und einem Torus zu zeigen, ordnet man der Tasse eine algebraische Struktur zu und hofft, durch das Studium dieser algebraischen Strukturen auf die Geometrie des Objekts zurückschliessen zu können. Genau diese Verbindung von anscheinend so unterschiedlichen Dingen, wie eine Tasse und eine algebraische Struktur, leistet die Kategorientheorie.

Vielleicht finden Sie, dass die Anschauung offensichtliche Informationen über geometrische Objekte hergibt, während algebraische Strukturen abstrakt und undurchsichtig sind. Aber tatsächlich ist es genau umgekehrt! Algebraische Umformungen genügen gewissen Regeln und können allenfalls sogar automatisiert werden, während die geometrische Anschauung nicht objektiv ist und auf’s Glatteis führt. 

Insbesondere in höheren Dimensionen wird es schwierig. Sie wissen, was eine Kugel ist? Na ja, z.B. ein Fussball wäre eine Kugel, wenn er voll wäre. Die Erde ist schon ein besseres Beispiel für eine Kugel. Aber es ist nur wenigen Menschen vergönnt, die Erdkugel von aussen zu sehen. Wir kennen sie nur aus Fotos. Aber der Vollmond bietet sich als Ersatz an. Er ist ebenfalls eine gute Annäherung an das Ideal einer Kugel. Warum nur „Annäherung“? Weil es auf dem Mond Berge und Täler gibt. Eine ideale Kugel hat eine spiegelglatte Oberfläche und einen konstanten Durchmesser. Aber von blossem Auge, von der Erde aus gesehen, scheint die Mondkugel fast ideal zu sein. 

Aus New Years Supermoon by Rico (Googlesuche nach Mondbilder mit CC Lizenz)

Niedrig dimensionale Kugeln

Item, So eine Kugel oder „Vollkugel“ ist ein einfaches dreidimensionales geometrischen Objekt von einer gewissen Ästhetik. Gibt es auch ein zweidimensionales Analogon? Klar, wenn Sie eine Kugel – z.B. einen möglichst kugelrunden Apfel – genau in der Hälfte aufschneiden und auf die Schnittfläche schauen, dann sehen Sie eine „zweidimensionale Vollkugel“, oder besser: eine Kreisscheibe.

Ein ebener Schnitt durch eine Kugel gibt eine Kreisscheibe

Und was ist eine „eindimensionale Vollkugel“? Wiederholen Sie das Prozedere und schneiden eine Kreisscheibe genau durch die Mitte. Dann schauen Sie auf den Schnitt. Was sehen Sie? Ein Intervall entlang des Durchmessers der Kreisscheibe! Ein Intervall ist also eine eindimensional Kugel!

Ein gerader Schnitt durch eine Kreisscheibe (2-dimensionale Kugel) gibt ein Intervall (unten abgebildet). Ein Intervall ist demzufolge eine eindimensionale Kugel.

Aber so eine Kugel ist ja nicht wirklich etwas Spannendes. So, wie man eine Tasse in einen Torus deformieren kann, kann man jede Vollkugel auch in einen Punkt schrumpfen. Schon interessanter ist die Oberfläche einer Kugel. Das wäre also so etwas, wie eine Hohlkugel, aber mit verschwindend dünner Schale! Der oben erwähnte Fussball ist eine Hohlkugel, hat aber eine zu dicke Schale. Das Leder sei 1.8 mm dick, lese ich hier bei Wikipedia. Und dann kommen noch „mehrere Lagen Baumwoll- und Polyesterstoff“. Ich denke, dass dann die Wanddicke des Balls gut und gerne 2.5 mm oder noch mehr beträgt. Das würde man dann eher als „Kugelschale“ bezeichnen. Aber wir sind an der effektiven Kugeloberfläche interessiert, also eine Kugelschale mit hauchdünner Schale! So etwas nennt man in der Topologie eine Sphäre.

Sphärenklänge

Die Oberfläche einer dridimensionalen Kugel heisst gescheit: 2-Sphäre, weil sie eine zweidimensionale Fläche ist. Aber obwohl sie zweidimensional ist, lässt sie sich nicht in eine Ebene einpassen. Sie können einen Fussball nicht ganz flach machen. (Auch ein „Flachmann“ ist eben nicht ganz flach!). Es gibt also Flächen, die Sie nur im dreidimensionalen Raum betrachten können. Aber, wenn Sie ein kleines Stück aus der Fläche ausschneiden, sieht es fast aus, wie ein kleines Stück Papier. Z.B. sieht ein Fussballfeld (auf der gekrümmten Erdoberfläche) aus, wie ein Ausschnitt einer idealen Ebene. 

Was wäre denn eine 1-Sphäre? Das ist die „Oberfläche“, „Schale“ oder der Rand einer zweidimensionalen Kugel. Und was ist nur schon eine zweidimensionale Kugel? Schauen Sie oben! Eine zweidimensionale Kugel ist eine Kreisscheibe. Ihr Rand ist die Kreislinie, also ein Kreis! Jetzt machen wir die Reihe fertig: was ist eine 0-Sphäre? Na, eben der „Rand“ einer eindimensionalen Kugel, also der „Rand“ eines Intervalls. Der Rand eines Intervalls sind seine Endpunkte. Eine 0-Sphäre besteht also aus zwei unzusammenhängenden Punkten. Im letzten Bild sind die Ränder der Kreisscheibe (2-dimensionale Kugel) und des Intervalls (eindimensionale Kugel) rot eingefärbt.

Gut! Das war eine leichte Anschauungsübung. Wir starteten von einer (dreidimensionalen) (Voll-)Kugel und gingen immer eine Dimension zurück. Nun starten wir wieder bei einer Kugel und gehen in den Dimension hoch. Was ist eine vierdimensionale Kugel und was ist ihr Rand, genannt 3-Sphäre? Letzteres ist einfach die Menge aller Punkte, die vom Mittelpunkt den Abstand des Radius haben. Also eine 3-Sphäre mit Radius 1 ist die Menge aller Punkte in vierdimensionalen Raum, die vom Mittelpunkt den Abstand 1 haben. Das ist sehr einfach, vorstellen kann sich das aber niemand. Wir haben gesehen, dass Sie ein aus einer 2-Sphäre herausgeschnittenes Stück in eine Ebene hinein bügeln können. Eine Dimension höher heisst das: Sie können ein aus einer 3-Sphäre herausgeschnittenes Stück in einen Raum hineinbügeln. Oder: eine 3-Sphäre sieht lokal aus, wie ein dreidimensionaler Raumausschnitt, also etwa so, wie das Zimmer, in welchem Sie sich gerade befinden. Aber die 3-Sphäre als ganzes, können Sie nicht im Raum darstellen. Sie kann nur in einem vierdimensionalen Raum betrachtet werden. 

Wozu das alles?

Und hier kommt jetzt die Kategorientheorie in’s Spiel: sie ordnet einer n-dimesionalen Sphäre ein algebraisches Objekt zu, d.h. eine Menge von Buchstaben, die miteinander verrechnet werden können. Das algebraische Objekt einer n-Sphäre hat dann z.B. n Buchstaben. n-Sphären sind aber nicht die einzigen geometrischen Objekte. Man kann sich die wildesten Dinger vorstellen, die man mit Hilfe der Kategorientheorie untersuchen kann.

Nun fragen sich vielleicht einige Leser, wozu das gut sein soll und wer wozu n-Sphären benötigt. Für den Mathematiker geht es dabei um die Neugier, zu was der menschliche Geist fähig ist. Wenn wir beim Fussball bleiben: ich habe schon Videos von Fussballern gesehen, die einen Ball nicht nur auf die erstaunlichste Art jonglieren, sondern auch sonst allerlei akrobatische Tricks anstellen. Sie sind fähig, mit dem Ball Kunststücke zu machen, die für einen Nicht-Fussballer wie Zauberei aussehen. In einem Fussballspiel sieht man selten, dass ein Fussballer solche Tricks einsetzt. Aber er trainiert sie und hat Freude daran. Genauso geht es einem Mathematiker, wenn er mit n-dimensionalen Objekten jongliert. Fussballtricks und n-Sphärentricks sind menschliche Grenzfähigkeiten und wir dürfen unsere Grenzen ruhig kennen.

Nebenbei: Höherdimensionale geometrische Objekte kommen in der Relativitätstheorie und der Kosmologie vor. Die Relativitätstheorie ist z.B. bei der Entwicklung von GPS-Anwendungen nützlich. Wer genaue Koordinaten will, muss relativistische Effekte berücksichtigen und vierdimensionale Objekte berechnen können. Vielleicht denken Sie daran, wenn Sie das nächste Mal Google Maps (oder eine ähnliche App) verwenden!

Die Kategorientheorie bietet also eine Art Übersetzung von einer Theorie in eine andere und von einer Terminologie in eine andere. Das könnte sie zu einer geeigneten Kandidatin machen, wenn es darum geht, gesellschaftliche Anschauungen aus einer Kultur in eine andere Kultur zu übertragen. In Manchmal kommt mir die Natur und manchmal ist es Gesellschaftszwang habe ich zwei Welten beschrieben, wie sie der Soziologe Bruno Latour beobachtet: Gesellschaft und Technik. Die Vermittlung dieser beiden Welten könnte mit kategorientheoretischen Mitteln versucht werden. Oder beispielsweise sind klimaschützerische Vorstellungen nicht mit gewinnmaximierenden Wirtschaftstheorien kompatibel. Beide Gebiete können bis zu einem gewissen Grad formalisiert und dann mit kategorientheoretischen Hilfsmitteln verglichen werden.

Kategorien in der Informatik

Eingangs habe ich gesagt, dass die Kategorientheorie zu Beginn bloss ein Hilfsmittel der algebraischen Topologie gewesen sei. Mittlerweile – genauer: seit den 1990er Jahren – hat sie sich gemausert und spielt eine prominente Rolle in der Computerprogrammierung. Plötzlich interessieren sich auch Informatiker für Kategorientheorie und das nicht zu knapp! Sowohl die Theorie von Programmiersprachen als auch die Kategorientheorie sind im wesentlichen Theorien von Abbildungen. Diese Gemeinsamkeit ist es, was Computerprogrammierer fasziniert. Aber auch in anderen Bereichen der Informatik hat man die Kategorientheorie entdeckt. Beispielsweise gibt es kategorientheoretische Ansätze in der Softwarequalitätssicherung. Wenn Ihr Computer aufgrund eines Softwarefehlers abstürzt, ist das zwar ärgerlich, hat aber wenig weitreichende Konsequenzen. Hingegen können Fehler in der Software von selbstfahrenden Autos, Flugzeugen oder Raumfahrzeugen mindestens beträchtliche finanzielle Schäden verursachen, wenn nicht gar Menschleben fordern. Z.B. hat die europäische Raumfahrtorganisation im Juni 1996 die Trägerrakete Ariana 4 auf die Version 5 portieren wollen. Beim Testflug explodierte die erste Ariane 5 Rakete 40 Sekunden nach dem Start wegen eines Softwarefehlers. Es entstand ein Sachschaden in der Höhe von 290 Millionen Euro, Folgen aus dem Vertrauensverlust und den Verzögerungen nicht mit eingerechnet. Noch beträchtlicher sind die Verluste durch Softwarefehler in Mittelstands- und Grossunternehmen: 84.4 Milliarden Euro jedes Jahr!

Das Gebiet der Softwareprüfung, d.h. der Prüfung, ob eine Software auch wirklich das macht, was sie soll, ist nicht ganz trivial. Und genau da kommt wieder die Kategorientheorie in’s Spiel: bei der Entwicklung von Methoden zum Beweis der Fehlerfreiheit von Software. Das Programm wird in eine Gleichung umgewandelt, die ein Computer dann auflösen kann. Wenn es keine Lösung gibt, muss es im Programm Fehler haben. 

Ichiro Hasuo ist Professor beim japanischen National Institute of Informatics. Er beschäftigte sich zuerst mit dem Nachweis der Fehlerfreiheit von Software und wechselte dann zum Gebiet des Desings von Fertigungsprodukten. Er sagte in einem englischsprachigen Interview der Zeitschrift NIIToday

Wenn eine Theorie mit Hilfe von Kategorien beschrieben wird, erhöht sich der Abstraktionsgrad der Theorie. Dadurch kann das allgemeine und universelle Wesen der Theorie besser verstanden werden. Dieser Moment des Entdeckens und Verstehens fühlt sich wirklich gut an. Die Freude, etwas Neues zu erkunden und zu verstehen, ist meine Motivation, weiterhin Forschung zu betreiben…. Wenn die Abstraktionsebene angehoben wird, sind zum Beispiel Software und Autos dasselbe. Ein Auto ist eine komplexe Maschine, die mit zahlreichen Computern bestückt ist, von denen jeder Software enthält, so dass man es als ein großes Stück Software betrachten kann.

(Freie Übersetzung von mir. Der genaue Wortlaut kann im Artikel nachgelesen werden)

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