Verzögerungen erster und höherer Ordnung

Es wird Zeit, dass wir uns den Aufgaben aus dem Beitrag Verzögerungen als Dimension der Projektkomplexität vom 24. Juli zuwenden. Zunächst zu den Tauben. Die Tauben stehen dicht, Leib an Leib, und können sich nicht gross bewegen. Jede Taube hat zuerst fast beliebig viele Körner unter sich und pickt drauf los, was das Zeug hält, vielleicht zwei Körner pro Sekunde. Dann werden es weniger und die Taube muss immer mehr den Hals verrenken, um an ein weiteres Korn zu gelangen. Das braucht Zeit. Vielleicht erreicht sie nur noch ein Korn pro Sekunde. Dann wird’s eng. Es hat noch Körner, aber sie sind in toten Ecken, wo die Tauben in dieser Position nicht hin kommen. Somit muss sich die gesamte Taubenschar verändern, es kommt zu Aggressionen, was wiederum Zeit weg nimmt. So ergattert jede Taube durchschnittlich noch ein Korn pro 10 Sekunden. Schliesslich entdecken ein paar Tiere, dass auf dem Rücken anderer noch welche Körner liegen und picken sie weg. Wenn Sie diese Errungenschaften auf alle Tauben verrechnen, kommen Sie auf einen Schnitt von möglicherweise 1 Korn pro Minute. Und schlussendlich findet eine Taube nach einem Monat noch ein verlorenes Korn in einem Zwischenraum zweier Pflastersteine. Die Abnahme der Körner, die am Boden liegen, hängt also davon ab, wieviele Körner noch am Boden vorhanden sind und von der durchschnittlichen Pickzeit, der Zeit, die eine Taube benötigt, um ein Korn runter zu schlucken. Wir fassen die Körner, die am Boden liegen in einem viereckigen Behälter zusammen und stellen uns vor, dass die Körner die die Tauben picken durch eine Röhre aus dem Behälter fliessen. Die Abflussgeschwindigkeit ist proportional zum Inhalt des Behälters, so:

Sie können dann mit Hilfe einer Excel-Tabelle ausrechnen, wie die Körner abnehmen, nach der Abhängigkeit Körner im Behälter zur Zeit t = Körner im Behälter zur Zeit (t-1) / Pickzeit. Wählen Sie die Zeitschritte möglichst klein. Wie Sie dann sehen, nehmen die Körner exponentiell ab. Wenn Sie passende Grössen wählen, erhalten Sie ein solches Diagramm:

Das nennt man eine Verzögerung erster Ordnung. Es interessiert uns nicht, wieviele Körner nach zwei oder fünf Minuten genau noch vorhanden sind, sondern uns interessiert bloss das qualitative Verhalten einer Verzögerung erster Ordnung.

Die Aufgabe mit den Briefen kann man nun auf die Taubenaufgabe zurückführen. Man beachte aber, dass es von der Aufgabe am lokalen Postschalter bis zur Auslieferung in den USA mehrere Bestände gibt. Zunächst kommen die Briefe mit Tausenden anderen im lokalen Postamt in einen grossen Behälter. Dieser leert sich dann wie der Behälter der Körner für die Tauben. Dann werden die Briefe in ein nächst höheres Porstamt transportiert. Der dortige Behälter füllt sich zuerst auf und leert sich danach wieder wie bei den Taubenkörner, usw. Bis zur Auslieferung in den USA gelangen die Briefe in gut und gerne ein Dutzend Behälter oder mehr. Auch die Behälter in den Transportmitteln können Sie einbeziehen. Dort liegen die Briefe ja auch längere Zeit, wie in den Postämter. Wenn Sie mehrere Behälter auf diese Weise in eine Reihe schalten und annehmen, die Post spezifiziere eine Auslieferungszeit von 10 Tagen und diese Verzögerungszeit auf alle Zwischenbehälter gleichmässig aufteilen, dann erhalten Sie ein solches Diagramm.

Das ist eine Verzögerung höherer Ordnung (hier nahmen wir 20 Zwischenbehälter an und erhielten eine Verzögerung zwanzigster Ordnung). Wie Sie sehen, werden die ersten Briefe bereits nach vier oder fünf Tagen ausgeliefert. Am zehnten Tag werden am meisten Briefe ausgeliefert, nämlich fast 200. Nach 18 Tagen sollten weitgehend alle Briefe den Adressaten erreicht haben, aber vielleicht findet sich nach zwanzig Jahren ja noch ein Brief in einem Liftschacht und wird pflichtbewusst abgeliefert. Die Kurve erreicht nie die Nulllinie. Natürlich reflektieren solche Modelle den Idealfall und nicht die Realität. Der realistische Verlauf des Briefbeispiels mag etwa so aussieht wie die rote Kurve in folgendem Diagramm.

Aber Unternehmens- oder Projketmanager, die in (blauen) Modellen denken, sind erfolgreicher, als solche, die nichts über Verzögerungen wissen. Der genaue Verlauf der roten Kurve ist gar nicht so relevant. Wichtig ist, dass ein Projektleiter Verzögerungen in die Planung einbezieht und weiss, wie sich eine Verzögerung höherer von einer solchen erster Ordnung unterscheiden. Dieses Wissen ist die Basis einer jeden sauberen Planung.

Weitere Lektüre:

John Sterman, Brad Morrison. Structure and Behaviours of Delays.

Stephanie Albin. Exponential Material Delays.

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