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Was wäre, wenn Tschechien die Schweiz mit 2:1 geschlagen hätte?

In der Gruppe A der Europameisterschaft 2008 im Fussball wurden sechs Spiele gespielt. Es trafen Portugal (p), Tschechien (s), Türkei (t) und die Schweiz (c) aufeinander. Die Resultate waren:

s schlug c 1:0
p schlug t 2:0
p schlug s 3:1
t schlug c 2:1
c schlug p 2:0
t schlug s 3:2

Aufgrund nur dieser Ergebnisse war z.B. Tschechien besser als die Schweiz. Lassen Sie uns das so schreiben: s < c. Das Gruppenergebnis kann somit in einer Zeile geschrieben werden:

p < t < s < c < p < s und t < c

Das liest sich so: Portugal ist besser als die Türkei, die ist besser als Tschechien, das ist besser als die Schweiz, die ist besser als Portugal, etc. Oder kurz: Portugal ist besser als Portugal, oder noch etwas pointierter ausgedrückt: Portugal schlägt sich selbst! Man sagt, dass diese Reihenfolge nicht transitiv ist. Das ist der Fall, wenn man sich nur auf die erzielten Resultate abstützt. Daher müssen noch andere Kriterien als nur die gespielten Resultate in die Berechnung einbezogen werden. Ohne auf das genaue Verfahren einzugehen, ist eines sicher: wäre das Spiel Schweiz gegen Tschechien mit 1:2 statt mit 0:1 ausgegangen, hätte das auf das Gruppenresultat keinen Einfluss gehabt. Nach wie vor wären Portugal auf Rang 1 und die Türkei auf Rang 2 geblieben. Und das entspricht auch unserem Gerechtigkeitssinn: Werden irrelevante Alternativen verändert, hat das keinen Einfluss auf die Gesamtrangliste.
Wenn Sie Toto spielen, dann müssen Sie einen Tip für die sechs Spiele geben, z.B. könnten Sie folgenden Tip abgeben:

c:s Tip 2
p:t Tip 1
s:p Tip 2
c:t Tip 2
c:p Tip 1
t:s Tip 1

Damit tippen Sie auf dieselbe Rangordung, wie die Mannschaften dann auch erspielt haben. Bei einer Wahl oder Abstimmung legen also alle Wähler ihre Präferenzen der Alternativen vor.

Wo Teams an der Arbeit sind, muss aus den Rangordnungen der Mitglieder eine Rangordnung des Teams extrahiert werden. Oft geht das mit Mehrheitsbeschluss. Aber, wie ich eingangs gezeigt habe, ist dieses Vorgehen nicht immer schlüssig, wenn mehr als zwei Alternativen vorliegen. Wenn die Alternative A gegenüber der Alternative B bevorzugt wird und wenn Alternative B gegenüber der Alternative C bevorzugt wird, so sollte Alternative A gegenüber der Alternative C bevorzugt. Das haben wir eine transitive Rangordnung genannt. Klar? Sie meinen, das sei selbstverständlich? Betrachten Sie ein Dreierteam, das sich zwischen den Alternativen A, B und C zu entscheiden hat.
Person 1 präferenziert A vor B und B vor C
Person 2 präferenziert B vor C und C vor A
Person 3 präferenziert C vor A und A vor B
Fragen Sie plump in das Plenum, wer für A, B oder C sei, werden Sie jeweils nur eine Stimme haben und zu keiner Entscheidung kommen. Also fragen Sie vielleicht, wer A der Alternative B vorziehe, wer B der Alternative C vorziehe und wer A der Alternative C vorziehe und sie werden für jede Frage je zwei Zustimmungen erhalten. Zwei Stimmen sind die Mehrheit in einem Dreierteam. Also zieht nach demokratischen Spielregeln das Team die Alternative A der Alternative B vor, diese der Alternative C und C wiederum der Alternative A. Der Mehrheitsbeschluss verletzt also die Transitivität.

Inwieweit können Teams überhaupt konsensfähig sein, wenn mehr als zwei Alternativen zur Auswahl stehen? Die Antwort auf diese Frage ist für eine erfolgreiche Projektarbeit sehr wichtig. Wenn Sie als Projektmanager mit einem Team arbeiten und es gibt mehrere Alternativen, wie entscheiden Sie dann? Z.B. könnten Sie abstimmen lassen und hoffen, dass sich für eine Alternative eine Mehrheit findet. Dann habe Sie ein Verfahren, um aus den einzelnen Individualpräferenzen eine Teampräferenz zu machen. Aber reflektiert sie auch wirklich die Meinung der einzelnen Mitglieder? Wir wissen es nicht, aber unser Verfahren soll doch ein paar Erwartungen erfüllen:

  1. Es soll keinen Diktator geben, also kein Individuum soll dem Team die Alternative vorschreiben dürfen, die es als Team bevorzugen soll.
  2. Die Individuen sollen sich zwischen je zwei Alternativen entscheiden können. Das bedeutet, dass sich jedes Individuum zu einem beliebigen Paar von Alternativen einer der beiden den Vorzug geben oder beide als gleichwertig einstufen kann. „Ist mir doch wurscht“ wollen wir nicht gelten lassen.
  3. Wenn alle Individuen die Alternative A der Alternative B vorziehen, dann soll auch das Team als ganzes die Alternative A gegenüber der Altenative B bevorzugen.
  4. Die Präferenzen der Individuen gegenüber Alternativen, die selber keine
    Aussicht haben, kollektiv gewählt zu werden (irrelevante Alternativen), sollen keinen Einfluss auf die Alternative haben, die kollektiv gewählt wird. Im Beispiel des Fussballspiels Schweiz gegen Tschechien haben wir angenommen, dass es mit 1:2 statt mit 0:1 ausgegangen ist und gesehen, dass dies auf die Sieger Portugal und die Türkei keinen Einfluss gehabt hätte.

Kenneth Arrow zeigte 1951, dass bei mehr als zwei Alternativen diese vier Bedingungen nicht gleichzeitig erfüllt sein können. Genau zeigte er, dass wenn in üblichen Abstimmungsverfahren die Bedingungen 2, 3 und 4 erfüllt sind, es dann einen Diktator gibt1. Das bedeutet, dass wir mit Teammeinungen im Management sehr vorsichtig sein sollten, denn demokratische Entscheidungsverfahren existieren nicht bei mehr als zwei Alternativen.

Im Anschluss an den Beitrag Wann sind Projekte instabil? vom 3. August, habe ich auf eine Darstellung der Methode Team Syntegrity verwiesen, in welcher die Autoren behaupten, dass die Entscheidungs- und Konsensfindung bei grossen Projekten, bei denen viele unterschiedliche Sichtweisen und Interessen bestehen, … durch eine grössere Anzahl von Personen erfolgen muss. Sie berichten von einem Fall, in welchem die Teilnehmer rund hundert Massnahmen erarbeitet hätten2. Nicht überliefert ist die Antwort auf die Frage, wie diese Massnahmen priorisiert wurden. Genau das ist nämlich nach Arrow unmöglich und führt zwangsläufig zu Konflikten. Ein anderes Beispiel, in welchem eine Rangordung des Teams aus den Rangordnungen der Teammitglieder extrahiert werden muss, ist das Risikomangement. Dies wird meist im Team angegangen, in der Hoffnung, dass viele Köpfe alle Risiken aufzählen können, die im Moment vorstellbar sind. In diesem Fall bin ich sehr skeptisch, denn wenn man mögliche Risiken einfach durch ein Brainstorming sucht, kommen bestimmt nur diejenigen zum Vorschein, die in den Griff zu bekommen man fähig ist. Das ist eine Art selektive Wahrnehmung. Jedem Risiko muss dann jeweils eine Eintrittswahrscheinlichkeit zugeordnet werden. Jedes Teammitglied tut das für sich. Es gibt dann keinen Weg, um zu einer Rangordung der Eintrittwahrscheinlichkeiten zu kommen, die dem Team entspricht. Der Projektmanager kann diese Rangordnung gerade so gut alleine erstellen.

Eine etwas ausführlichere Darstellung des Unmöglichkeitssatzes von Arrow findet sich unter
Lenk, Thomas u. Volkmar Teichmann. Arrows Unmöglichkeitstheorem. In: Das Wirtschaftsstudium (WISU), 28. Jg., Heft 6 (Juni 1999), S. 866-870.

1Arrow, K., Social Choice and Individual Values. 2. Auflage. New Haven 1963
2Nittbaur/Ernst. Team Syntegrity: Lösungen finden bei komplexen Fragen. Projektmagazin, 2003 http://danicos.dk/artikler/Projektmagazin.pdf